Question

13．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点E，BF平分∠ABC交AD于F．
（1）当CE=$\frac{1}{2}$BE时，线段CD与AB之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并给予证明；
（2）当AF=$\frac{1}{2}$AD时，线段AB、BC、CD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定，由AB∥CD，可得△CED∽△BEA，利用相似三角形的性质，可得$\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BE}$，再由CE=$\frac{1}{2}$BE，即可得到CD与AB的数量关系；
（2）作△ABD的中位线，由中位线定理得GF∥AB∥CD，可知H为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠HFB=∠FBA=∠HBF，则FH=BH=$\frac{1}{2}$BC，而HG=$\frac{1}{2}$CD，GF=$\frac{1}{2}$AB，利用GF=FH+GH求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系即可．

解答 解：（1）CD=$\frac{1}{2}$AB，
理由：∵AB∥CD，
∴△CED∽△BEA，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BE}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$BE，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）AB=BC+CD，
理由：如图，作△ABD的中位线FG，交线段BC于点H，交线段BD于点G，
∴GF∥AB，
∵AB∥CD，
∴GF∥AB∥CD，
∴H为BC的中点，∠HFB=∠FBA
∵BF平分∠ABC交AD于F，
∴∠FBA=∠HBF，
∴∠HFB=∠HBF，
∴FH=BH=$\frac{1}{2}$BC，
∵GH是△BCD的中位线，FG是△ABD的中位线，
∴HG=$\frac{1}{2}$CD，GF=$\frac{1}{2}$AB，
∵GF=FH+GH
∴$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD，
∴AB=BC+CD．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质，构造三角形的中位线是关键．