Question

已知二次函数y=ax²+bx+c经过点（1，2）．
（1）若a=1，二次函数顶点A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求此时二次函数的解析式．
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）在（2）中取得最小值的条件下，若b，c为整数，请求出此时二次函数的解析式，并说明该函数在m≤x≤m+2时的最小值（其中m的常数）．

Answer 1

【答案】分析：（1）将（1，2）的坐标代入抛物线的解析式中，联立a=1，可得出b、c之间的关系式．如果△ABC是等边三角形，那么 倍BC的长正好是A点纵坐标的绝对值，联立b、c的关系式可求出b、c的值，从而求出函数的解析式．
（2）易知：b+c=2-a，bc=，可将b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，则说明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）根据（2）中的条件，确定b，c的值，求出二次函数式，根据讨论m的取值范围，求出最值．
解答：解：（1）由题意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
抛物线顶点为A（-，c-）
设B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0
∴|BC|=|x₁-x₂|===
∵△ABC为等边三角形，
∴-c=
即b²-4c=2 •，
∵b²-4c＞0，
∴=2 ，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2
∴当b=-2+2时，c=3-2
当b=-2-2时，c=3+2
∴此时二次函数的解析式为：
y=x²+（-2+2）x+3-2或
y=x²+（-2-2）x+3+2
（2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=
∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的两实根．
∴△=（2-a）²-4×≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．
（3）根据（2）中的条件，可知道a=4，b=-1，c=-1．
y=4x²-x-1，二次函数开口向上．
顶点的横坐标：x=，
当m+2＜，即m＜-，
最小值为：4（m+2）²-m-1=4m²+15m+15．
当m＞时，
最小值为：y=4m²-m-1．
当m≤≤m+2时，
最小值为：-．
点评：本题考查二次函数的综合运用，关键是根据等边三角形的性质，三边相等，以及两点间的距离公式求出求出b，c的值，确定函数式，以及根据坐标和所给的条件求出最值，以及函数的性质等知识点．