Question

如图1，△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，把△ECD绕点C逆时针旋转，使点D在AB上，如图②，连接AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）如图2，若AB=17，ED=13，求△ADE的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）利用等角的余角相等得到∠BCD=∠ACE，再根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，CE=CD，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD；
（2）由△ACB为等腰直角三角形得到∠B=∠BAC=45°，再由△ACE≌△BCD得到AE=BD，∠CAE=∠B=45°，则∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ADE中利用勾股定理得到AE²+AD²=DE²，利用完全平方公式变形得到（AE+AD）²-2AE•AD=DE²，加上AE+AD=BD+AD=AB=17，于是可计算出AE•AD=60，然后根据三角形的面积公式计算△ADE的面积．

解答：（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
在△ACE和△BCD中

CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD；
（2）解：∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠CAE=∠B=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ADE中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（AE+AD）²-2AE•AD=DE²，
∵AE+AD=BD+AD=AB=17，
∴17²-2AE•AD=13²，
∴AE•AD=60，
∴△ADE的面积=

1

2

AE•AD=30．

点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．