Question

【题目】如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．

（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，

可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），

然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，

解得：a=﹣ ，

故抛物线解析式是：y=﹣ （x+2）（x﹣4）

（2）

解：由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，

∵CD⊥CB，

∴CD直线方程可以设为：

y= x+m，

将C点坐标代入得：m=2，

∴CD直线方程为：y= x+2，

∴D点坐标为：D（0，2），

由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1， ），

∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=﹣ x+ ，

∴F点坐标为：F（0， ），

∴CE直线方程可以设为：y= x+n，

将C点坐标代入得：n= ，

∴CE直线方程为：y= x+ ，

令y=0，解得：x=﹣ ，

∴E点坐标为E（﹣ ，0），

∴能；

（3）

解：由C、D两点坐标可以求得CD= ，

则△FDC是等腰△可以有三种情形：

① FD=CD= ，

则F点坐标为F（0，2+ ），

②FC=CD= ，过C点作y轴垂线，垂足为H点，

则DH=1，

则FH=1，

则F点坐标为F（0，4），

③FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，

由中点公式得G点坐标为G（ ， ），

由DC两点可以求得DC直线方程为：y= x+2，

则FG直线方程可以设为：y=﹣3x+p，

将G点坐标代入解得：p=7，

故F点坐标为（0，7）．

【解析】（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，设CD直线方程可以设为：y= x+m，求出m的值，进而求出D点的值，由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标，由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程，CE直线方程可以设为：y= x+n，求出n的值，进而求出E点的坐标；（3）由C、D两点坐标可以求得CD= ，△FDC是等腰△可以有三种情形：①当FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分别求出F点的坐标即可；