Question

如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B, 且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.　

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.

①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.

②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，－12），

所以，又18a+c=0，　　　

∵AB∥OC，且AB=6,∴抛物线的对称轴是

∴　　　　　　　　　　　　　　　

所以抛物线的解析式为　　

（2）①

t的取值范围:　　　

②当时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，－12），点Q坐标（6，－6）

若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，－18），将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，－18）；

（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，－6），将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。

（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，－6），将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。

综上所述，点R坐标为（3，－18）