Question

12．如图，AD是△ABC的边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是①或②或③或④．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①BD=CD    ②∠BAD=∠CAD   ③AB+BD=AC+CD  ④DE=DF．

Answer 1

分析 四个条件都可以推出△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的定义，一一证明即可．

解答 解：①当BD=CD时，∵AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
③当AB+BD=AC+CD时，延长DB至M，使BM=AB；延长DC至N，使CN=AC；连接AM、AN；

∵AB+BD=CD+AC，
∴DM=DN，又AD⊥BC；
∴△AMN是等腰三角形；
∴∠M=∠N；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠M；
同理，得∠ACB=2∠N；
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
④当DE=DF时，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BAD=∠BAC，
由②可知，△ABC是等腰三角形．
故答案为①或②或③或④．

点评 本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．