Question

如图，AB是⊙O直径，OD⊥BC，垂足为F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）如果∠AEC=30°，DF=

15

2

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）直线BD与圆O相切，理由为：利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由∠AEC=∠ODB，利用等量代换得到∠ABC=∠ODB，由OD与BC垂直，得到三角形OBF为直角三角形，可得出直角三角形中两锐角互余，等量代换可得出三角形OBD中两角互余，进而确定出AB与BD垂直，可得出BD为圆O的切线；
（2）由∠AEC=30°，得到∠ABC=∠ODB=30°，在直角三角形OFB中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出OF等于OB的一半，在直角三角形OBD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OB为OD的一半，而OD=DF+OF，列出关于OB的方程，求出方程的解得到OB的长，即为圆的半径，即可确定出圆的直径．

解答：解：（1）直线BD与圆O相切，理由为：
证明：∵∠AEC与∠ABC都对

AC

，
∴∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠ABC+∠BOD=90°，
∴∠ODB+∠BOD=90°，即∠OBD=90°，
则直线BD与圆O相切；

（2）∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=∠ODB=∠AEC=30°，
∵DF=

15

2

，
∴在Rt△OBF中，OF=

1

2

OB，
在Rt△OBD中，OB=

1

2

OD=

1

2

（DF+OF）=

1

2

（

15

2

+

1

2

OB），
解得：OB=5，
则圆O的直径为10．

点评：此题考查了切线的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．