Question

3．如图，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？（直接写出所有t的值）

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC，根据等腰三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）6²+8²=10²，
∴△ABC是直角三角形，
由题意得，2t=10+8-2t+6，
解得，t=6，
答：当t为6时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分，
（2）∵三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，
∴2t=8+5，
解得t=6.5，
∴P经过的路程为13cm；
（3）△BCP为等腰三角形时，
分三种情况：①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）；
点P还可以在AB上，作AB边上的高CE，
$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CE，
则CD=4.8，
由勾股定理得，EP=$\sqrt{{6}^{2}-4．{8}^{2}}$=3.6，
∴BP=7.2，AP=2.8，
∴t=（8+2.8）÷2=5.4（秒）；
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查的是三角形的周长、面积的计算、勾股定理的逆定理的应用，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．