Question

12．抛物线y=ax²+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax²+bx+c为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线y=ax²+bx+c必过x轴上的一个定点A；
（2）已知“恒定”抛物线y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由“恒定”抛物线y=ax²+bx+c，得到b=a+c，即a-b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（-1，0）；
（2）先求出抛物线y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：
①作QM⊥AC于M，则QM=OP=$\sqrt{3}$，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）²-$\sqrt{3}$，把点A坐标代入求出a的值即可；
②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=$\sqrt{3}$，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax²+$\sqrt{3}$，把点C坐标代入求出a的值即可．

解答 （1）证明：由“恒定”抛物线y=ax²+bx+c，
得：b=a+c，
即a-b+c=0，
∵抛物线y=ax²+bx+c，
当x=-1时，y=0，
∴“恒定”抛物线y=ax²+bx+c必过x轴上的一个定点A（-1，0）；
（2）解：存在；理由如下：
∵“恒定”抛物线y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$，
当y=0时，$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$=0，
解得：x=±1，
∵A（-1，0），
∴B（1，0）；
∵x=0时，y=-$\sqrt{3}$，
∴顶点P的坐标为（0，-$\sqrt{3}$），
以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，
∴PA∥CQ，PA=CQ，
∴存在两种情况：
①如图1所示：作QM⊥AC于M，
则QM=OP=$\sqrt{3}$，∠QMC=90°=∠POA，
在Rt△QMC和Rt△POA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CQ=PA}\\{QM=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），
∴MC=OA=1，
∴OM=2，
∵点A和点C是抛物线上的对称点，
∴AM=MC=1，
∴点Q的坐标为（-2，-$\sqrt{3}$），
设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）²-$\sqrt{3}$，
把点A（-1，0）代入得：a=$\sqrt{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\sqrt{3}$（x+2）²-$\sqrt{3}$，
即y═$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，
∴点C坐标为（1，0），
∵CQ∥PA，
∴∠OQC=∠OPA，
在△OQC和△OPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OQC=∠OPA}&{\;}\\{∠COQ=∠AOP}&{\;}\\{CQ=PA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OQC≌△OPA（AAS），
∴OQ=OP=$\sqrt{3}$，
∴点Q坐标为（0，$\sqrt{3}$），
设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax²+$\sqrt{3}$，
把点C（1，0）代入得：a=-$\sqrt{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$；
综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，
抛物线的解析式为：y=$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，或y=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式．