Question

2．如图，半径为$\sqrt{2}$的⊙O内接△ABC，∠B=60°，∠C=45°
（1）求△ABC的面积；
（2）D是$\widehat{BC}$的中点，过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA、OB、OC，作OH⊥AC于H，AM⊥BC于M．首先求出AB、AC，再求出AM、BC即可解决问题；
（2）如图2中，延长BE交AC于K，连接BD，EF．只要证明EF是△BCK的中位线即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OA、OB、OC，作OH⊥AC于H，AM⊥BC于M．

∵∠AOB=2∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，OA=OC，OH⊥AC，
∴∠AOH=60°，AH=HC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{6}$，
在Rt△ACM中，AM=CM=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABM中，BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BCBM+CM=1+$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AM=$\frac{1}{2}$•（1+$\sqrt{3}$）•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$．

（2）如图2中，延长BE交AC于K，连接BD，EF．

∵D是$\widehat{BC}$的中点，过点D作DF⊥BC于点F，
∴O、F、D共线，BF=FC，
∵∠BED=∠BFD=90°，'
∴B、E、F、F四点共圆，
∴∠EFB=∠BDE=∠ACB=45°，
∴EF∥AC，∵BF=FC，
∴BE=EK，
∴EF=$\frac{1}{2}$CK，
∵∠BAE=∠KAE，∠AEB=∠AEK=90°，
∴∠ABK=∠AKB，
∴AK=AB=2，
∴KC=AC-AK=$\sqrt{6}$-2，
∴EF=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$．

点评 本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理、解直角三角形、四点共圆、三角形我中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．