Question

如图，已知C，D是双曲线y=

m

x

（x＞0）上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），连接OC，OD（O是坐标原点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=

1

3

，OC=

10

．
（1）求C，D的坐标和m的值；
（2）双曲线存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下判断点P是否为△OCD的重心．
（4）已知点Q（-2，0），问在直线AC上是否存在一点M使△MOQ的周长L取得最短？若存在，求出L的最小值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CG⊥x轴于G，在直角△OCG中，已知tanα=

1

3

，OC=

10

，就可以求出CG，OQ的长，就得到C点的坐标．根据待定系数法得到反比例函数的解析式．过D作DH⊥y轴于H，则DH=y₂，OH=x₂，在Rt△ODH中，tanα=

DH

OH

=

1

3

，∴

x2

y2

=

1

3

，即y₂=3x₂，由x₂y₂=3解得DH的长，进而求出OH，得到D点的坐标．
（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=

3

x

交点，易证△POC≌△POD，则S_△POC=S_△POD．
（3）根据点P到三个顶点的距离即可判断是否为三角形△OCD的重心；
（4）先求出直线CD的解析式，表示出△MOQ的周长L，根据配方法即可求解．

解答：解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=

OG

CG

=

1

3

，
∴

x2

x1

=

1

3

，
即y₁=3x₁，
又∵OC=

10

，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥y轴于H，则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=

DH

OH

=

1

3

，
∴

x2

y2

=

1

3

，
即y₂=3x₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不符合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=

3

x

交点，
故P点坐标为（

3

，

3

），
∵点D（3，1），
∴OD=

10

，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．

（3）延长OP交CD于M，
∵C（1，3），D（3，1），
∴根据勾股定理OC=OD=

10

，
∵点P在∠COD的平分线上，
∴M为CD中点，
∴M（2．，2），
∵P点坐标为（

3

，

3

），
∴OP=

6

，PM=

( 3 -2)2+( 3 -2)2

=-

6

+2

2

即OP≠2PM，
∴P不是△OCD的重心．

（4）∵点C的坐标为C（1，3），点D的坐标为D（3，1），
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则有

3=k+b 1=3k+b

，解得

k=-1 b=4

．
∴直线CD的解析式为y=-x+4，
∵Q（-2，0），假设存在M（a，-a+4），则点M关于x轴的对称点M′为（a，4-a），
∴△MOQ的周长L=2+

2a2-4a+20

=2+

2(a-1)2+18

，
所以当a=1时，周长L取最小值为2+3

2

，
此时点M（1，3），故L取最小值为2+3

2

．

点评：本题考查了解直角三角形及三角形的重心等知识，难度较大，关键是掌握用待定系数法求函数解析式及角平分线的性质．