Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且

BC

=

CD

，过点C作EF⊥AD交AD延长线于E，交AB延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若连结BC，请判断∠BCF和∠BAC之间的关系，并证明你的结论；
（3）若CE=4，AE=8，求⊙O的半径和BF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，若要证明EF是⊙O的切线，则只要证明OC⊥EF即可；
（2）∠BCF=∠BAC，根据等角的余角相等即可证明；
（3）首先利用勾股定理求出AB的长，即圆的直径，所以半径可求，由OC∥AD可得△FCO∽△FEA，利用相似的性质可求出FC的长，再利用勾股定理可求出FO的长，进而求出BF的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵

BC

=

CD

，
∴∠BAC=∠CAE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴EF⊥AD，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∠BCF=∠BAC，
理由如下：
∵OC⊥EF，
∴∠BCF+∠OCB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠BCF=∠BAC；

（3）∵CE=4，AE=8，
∴AC=

CE2+AE2

=

80

=4

5

，
∴BC=2

5

，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴⊙O的半径为5，
∵OC∥AE，
∴△FCO∽△FEA，
∴

OC

AE

=

FC

EF

，
∴

5

8

=

FC

FC+4

，
∴FC=

20

3

，
∴FO=

FC2+OC2

=

25

3

，
∴BF=FO-OB=

25

3

-5=

10

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理等知识点，题目的综合性很强，难度中等，对学生的综合解题能力要求很高，特别是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．