Question

如图，直线y=2x+8与x轴，y轴分别交于A、B两点，P是该直线与反比例函数y=

k

x

的图象在第一象限内的交点，PM⊥x轴，垂足为点M，△AMP的面积是25．
（1）求反比例函数解析式；
（2）设R点是直线PM右侧的反比例函数图象上一点，作RT⊥x轴，垂足为T，当△AMP∽△RTM时，求R点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）易证△AOB∽△AMP，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得PM、AM的长，得到P的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）设出R的坐标，根据△AMP∽△RTM，对应边的比相等，即可求得点R的坐标．

解答：解：（1）y=2x+8中令x=0，解得：y=8，则B的坐标是（0，8），
令y=0，解得x=-4，则A的坐标是（-4，0）．
则OB=8，OA=4．
∴S_△AOB=

1

2

×4×8=16．
∵PM⊥x轴，
∴PM∥OB，
∴△AOB∽△AMP，
∴

S△AOB

S△AMP

=（

OA

AM

）²=（

OB

PM

）²=

16

25

，
∴AM=5，PM=10，
则OM=5-4=1，
∴P的坐标是（1，10）．
把（1，10）代入y=

k

x

，得：k=10，
则函数的解析式是：y=

10

x

；

（2）设R的坐标是（a，

10

a

），
则MT=a-1，RT=

10

a

，
当△AMP∽△RTM时，

AM

RT

=

PM

MT

，则

5

10 a

=

10

a-1

，
解得：a=5或-4（舍去）．
则R的坐标是（5，2）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确求得P的坐标是关键．