Question

5．如图1，已知抛物线的方程C₁：y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C₁过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C₁上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得到关于m的方程求得m的值即可；
（2）y=0可求得对应的x的值，则可得到B和点C的坐标，令x=0求得对应的y的值可求得点E的坐标，最后依据S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•OE求解即可；
（3）连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．先求得抛物线的对称轴为x=1，则点P（1，0），然后证明△PHC∽△OEC，依据相似三角形的性质可求得PH的长，则可得到点H的坐标；
（4）①过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．依据相似三角形的判定定理可知当BC²=CE•BF时，△BCE∽△FBC，设点F的坐标为（x，-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）），由$\frac{FF'}{BF'}=\frac{EO}{CO}$列出关于x的方程可求得x=m+2，从而得到点F′的坐标，依据锐角三角函数的定义可知：$\frac{CO}{CE}=\frac{BF'}{BF}$，从而可求得BF的长，最后依据列出关于m的方程求解即可；②作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，依据相似三角形的判定定理可知当BC²=BE•BF时，△BCE∽△BFC，由FF′=BF′，可求得F′（2m，0），然后可求得BF=2$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$，最后由BC²=BE•BF列出关于m的方程求解即可．

解答 解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{m}$×4×（2-m）=2，
解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解．
∴m的值为4．

（2）y=0得：0=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），解得x=-2或x=m，
∴B（-2，0），C（m，0）．
由（1）得：m=4，
∴C（4，0）．
将x=0代入得：y=-$\frac{1}{m}$×2×（-m）=2，
∴E（0，2）．
∴BC=6，OE=2．
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•OE=$\frac{1}{2}$×6×2=6．

（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴抛物线的对称轴是直线x=1．
∴CP=3．
∵点B与点C关于x=1对称，
∴BH=CH．
∴BH+EH=EH+HC．
∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．
∵HP∥OE，
∴△PHC∽△EOC．
∴$\frac{HP}{CP}=\frac{EO}{CO}$，即$\frac{HP}{3}=\frac{2}{4}$．解得HP=$\frac{3}{2}$．
∴点H的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）．

（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

∵BF∥EC，
∴∠BCE=∠FBC．
∴当$\frac{CE}{CB}=\frac{BC}{BF}$，即BC²=CE•BF时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为（x，-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）），由$\frac{FF'}{BF'}=\frac{EO}{CO}$，得$\frac{{\frac{1}{m}（x+2）（x-m）}}{x+2}=\frac{2}{m}$．
解得x=m+2．
∴F′（m+2，0）．
∵∠BCE=∠FBC．
∴$\frac{CO}{CE}=\frac{BF'}{BF}$，得$\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+4}}}=\frac{m+4}{BF}$，解得：$BF=\frac{{（m+4）\sqrt{{m^2}+4}}}{m}$．
又∵BC²=CE•BF，
∴${（m+2）^2}=\sqrt{{m^2}+4}×\frac{{（m+4）\sqrt{{m^2}+4}}}{m}$，整理得：0=16．此方程无解．
②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

∵OE=OB，∠EOB=90°，
∴∠EBO=45°．
∵∵∠CBF=45°，
∴∠EBC=∠CBF，
∴当$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{BF}$，即BC²=BE•BF时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）=x+2，解得x=2m．
∴F′（2m，0）．
∴BF′=2m+2，
∴BF=2$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$．
由BC²=BE•BF，得（m+2）²=2$\sqrt{2}$×（2$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$）．解得$m=2±2\sqrt{2}$．
∵m＞0，
∴m=2+2$\sqrt{2}$．
综上所述，点m的值为2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、轴对称图象的性质，两点之间线段最短以及相似三角形的性质和判定，求出点F′的坐标，从而得到相关线段的长度是解题的关键．