【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.
(1)若AC=6,BC=10,求⊙O的半径.
(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF,若∠AFE=2∠ABC,求证:四边形ACEF是菱形.
【答案】(1)圆O半径为r=3;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)连接OE,设圆的半径为r,在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出AB的长,根据BC与圆相切,得到OE垂直于BC,进而得到一对直角相等,再由一对公共角,利用两角相等的三角形相似得到△BOE与△ABC相似,由相似得比例求出r的值即可;
(2)利用同弧所对的圆周角相等,得到∠AOE=4∠B,进而求出∠B与∠F的度数,根据EF与AD垂直,得到一对直角相等,确定出∠MEB=∠F=60°,CA与EF平行,进而得到CB与AF平行,确定出四边形ACEF为平行四边形,再由∠CAB为直角,得到CA为圆的切线,利用切线长定理得到CA=CE,利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证.
试题解析:(1)连接OE,设圆O半径为r,
在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,
根据勾股定理得:AB= =8,
∵BC与圆O相切,∴OE⊥BC,∴∠OEB=∠BAC=90°,
∵∠B=∠B,∴△BOE∽△BCA,∴,即,解得:r=3;
(2)∵,∠AFE=2∠ABC,∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC,
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC,∴∠ABC=30°,∠F=60°,
∵EF⊥AD,∴∠EMB=∠CAB=90°,∴∠MEB=∠F=60°,CA∥EF,∴CB∥AF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
∵∠CAB=90°,OA为半径,∴CA为圆O的切线,
∵BC为圆O的切线,∴CA=CE,∴平行四边形ACEF为菱形.
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【题目】在联欢会上,有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩“抢凳子”游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的()
A. 三边中垂线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点
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【题目】为了解某校九年级学生体育测试成绩情况,现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下,其中右侧扇形统计图中的圆心角α为36°.
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)写出样本容量、m的值及抽取部分学生体育成绩的中位数;
(2)已知该校九年级共有500名学生,如果体育成绩达28分以上(含28分)为优秀,请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数.
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【题目】下列调查最适合用查阅资料的方法收集数据的是( )
A.班级推选班长
B.本校学生的到校时间
C.2006世界杯中,谁的进球最多
D.本班同学最喜爱的明星
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【题目】在平面直角坐标系中
(1)已知点P(2a﹣4,a+4)在y轴上,求点P的坐标;
(2)已知两点A(﹣2,m﹣3),B(n+1,4),若AB∥x轴,求m的值.
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【题目】小明在学习了数据的收集、整理与描述后,为妈妈整理记录了10月份的家庭支出情况,并绘制成如下尚不完整的统计图表,请你根据图表信息完成下列各题:
项目 | 物业费 | 伙食费 | 服装费 | 其他费 |
金额/元 | 800 | 400 |
(1)10月份小明家共支出多少元?
(2)在扇形统计图中,表示“其他费”的扇形圆心角为多少度?
(3)请将表格补充完整;
(4)请将条形统计图补充完整.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2﹣2bx﹣3(b为常数,b<0).
发现:(1)抛物线y=x2﹣2bx﹣3总经过一定点,定点坐标为 ;
(2)抛物线的对称轴为直线x= (用含b的代数式表示),位于y轴的 侧.
思考:若点P(﹣2,﹣1)在抛物线y=x2﹣2bx﹣3上,抛物线与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象在第一象限内交点的横坐标为a,且满足2<a<3,试确定k的取值范围.
探究:设点A是抛物线上一点,且点A的横坐标为m,以点A为顶点做边长为1的正方形ABCD,AB⊥x轴,点C在点A的右下方,若抛物线与CD边相交于点P(不与D点重合且不在y轴上),点P的纵坐标为﹣3,求b与m之间的函数关系式.
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【题目】如图,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是( )
A. ΔPAB∽ΔPDA B. ΔABC∽ΔDCA
C. ΔPAB∽ΔPCA D. ΔABC∽ΔDBA
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【题目】方程3x+y=0,2x+xy=1,3x+y-2x=0,x2-x+1=0中,二元一次方程的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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