Question

3．已知，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AD=6，E是AB的中点，P是对角线AC上一点，求PE+PB的最小值，并在AC上找出此时点P的位置（保留作图痕迹）

Answer 1

分析 连接BD交AC于P（点P即为所求）；先证明PE是△ABD的中位线，得出PE=$\frac{1}{2}$AD，再证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，求出PB，即可得出结果．

解答 解：连接BD交AC于P（点P即为所求）；如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，PB=PD，
∵E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=6，
∴PB=3，
∴PE+PB=6．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质、轴对称以及最短路线问题；熟练掌握菱形的性质，连接BD找出点P是解决问题的关键．