Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（-2，1）、点B（1，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足不等式的解集；
（3）若点P是双曲线左支上一动点，过点P的直线与双曲线另一支交于点M，过点P作PE⊥y轴，过点M作MN⊥x轴，垂足分别为E、N，PN与ME交于点D，请判断△PDE与△MDN面积的大小关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-2，1）在反比例函数的图象上，
∴1=，
求得：m=-2．
∴反比例函数的解析式为：．
∵B（1，n）．
∴n=-2
∴B（1，-2）．
∴
解得：k=-1，b=-2．
∴一次函数的解析式为：y=-x-2．

（2）图象得的解集是：x＜-2或0＜x＜1．

（3）S_△PDE=S_△MDN，
延长PE、MN相交于点H，设P（a，b），M（c，d）．则|ab|=2，|cd|=2．
∴S_△MEH==1+
S_△PHN==1+
∴S_△MEH=S_△PHN，
∴S_△MEH-S_{四边形EHND}=S_△PHN-S_{四边形EHND}，
即S_△PDE=S_△MDN．
分析：（1）要求反比例函数的解析式比较简单，点A的坐标知道，直接代入解析式就可．求一次函数的解析式只要知道点B的坐标就可以，点B的坐标可以从反比例函数的解析式求得．
（2）实际就是求x为何值时一次函数值大于反比例函数值．可以由图象得知．
（3）要判断S_△PDE和S_△MDN的关系，作辅助线延长PE、MN相交于点H，可以求得S_△PHN=S_△MHE．根据等式的性质减去S_{四边形EHND}从而得证S_△PDE=S_△MDN．
点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，利用发比例函数的图象特征不等式的解集和图形的面积，本题比较难，特别是作辅助线将图形转化是难点．