Question

如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与y轴相切于
点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAO=∠CAD；
（2）求弦BD的长；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用切线的性质性质得出∠MCO=90°，进而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；
（2）利用圆周角定里以及平行线的性质，首先得出四边形COMN为矩形，进而求出BD=2MN；
（3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：如图1，连接MC，
∵⊙M与y轴相切于点C，∴CM⊥OC，
∴∠MCO=90°，
又∵∠ACD=90°
∴AD为⊙M的直径，
∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°
∴∠MCD=∠MDC，
∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°
∴∠MCD+∠ACM=90°
∴∠OCA=∠MCD=∠MDC
∵∠OCA+∠OAC=90°
∴∠OAC=∠CAD； 

（2）解：如图1，过点M作MN⊥OB于点N，
由（1）可知，AD是⊙M的直径，
∴∠ABD=90°，
∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，
∴MN∥BD，
∴

AM

AD

=

MN

BD

=

1

2

，
∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，
∴四边形COMN为矩形，
∴MN=CO=4，
∴BD=2MN=8；

（3）解：抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．
在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC，
由（1）知，∠ADC=∠OCA，
∴∠OCA=∠OBC
在Rt△CAO和Rt△BOC中，
tan∠OCA=

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，∴tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，∴OB=2OC=8，
∴A（2，0），B（8，0），
∵抛物线经过A，B两点，
∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：x=5；
当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，
在Rt△COB中，BC²=CO²+OB²=4²+8²=80，
如图2，在Rt△CMP₁中，
P1M2=CP2-CM2=80-25=55，
P1M=

55

，P1N=P1M+MN=

55

+4，
∴P₁(5，

55

+4)，
同理可求P₂的坐标是(5，4-

55

)  
当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，P3N=

P3B2-BN2

=

80-9

=

71

，
∴P₃(5，

71

)，
同理可得P₄坐标为(5，-

71

)，
∴符合条件的点P有四个，坐标分别为P₁(5，

55

+4)，P₂(5，4-

55

)，P₃(5，

71

)，(5，-

71

)．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及矩形的判定和等腰三角形的性质以及切线的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．