Question

已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点D（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）过点A作直线l⊥x轴，并将抛物线沿直线l翻折得到新的抛物线y₁，求抛物线y₁的解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）将点A（1，0）、B（3，0），D（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c，即可求得解析式，把解析式化为顶点式，即可找出顶点坐标；
（2）由对称性知：y₁与x轴的交点为（1，0）（-1，0），顶点为（0，-1），所以可求得y1=x2-1．

解答：解：（1）由已知得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点C的坐标为（2，-1）；
（2）由对称性知：y₁与x轴的交点为（1，0）（-1，0），顶点为（0，-1），
设y₁=ax²+bx+c，

a+b+c=0 a-b+c=0 c=-1

，
解得

a=1 b=0 c=-1

，
∴y1=x2-1．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）．也考查了二次函数的性质．