Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2，点P在线段AD上移动（点P与点A、D不重合），连接PB、PC．
（1）当△ABP∽△PCB时，请写出图中所有与∠ABP相等的角，并证明你的结论；
（2）求（1）中AP的长；
（3）如果PE分别交射线BC、DC于点E、Q，当△ABP∽△PEB时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据△ABP∽△PCB，得出∠ABP=∠PCB，进而得出∠DPC=∠PCB，∠DPC=∠ABP；
（2）首先证明△ABP∽△DPC，从而得出

AP

AB

=

DC

DP

，即可求出AP的值；
（3）分别从当点E在线段BC上时，②当点E在线段BC的延长线上时，进行分析得出答案即可．

解答：（1）证明：有∠PCB和∠DPC．（2分）
∵△ABP∽△PCB，
∴∠ABP=∠PCB，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠DPC=∠ABP．（4分）

解：（2）梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，∴∠A=∠D．
∵∠DPC=∠ABP∴△ABP∽△DPC．
∴

AP

AB

=

DC

DP

．（5分）
设AP=x，则DP=5-x，
∴

x

2

=

2

5-x

．（6分）
解得x₁=1，x₂=4，
∴AP=1或4．（8分）

解：（3）①当点E在线段BC上时，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠PEB
∵AD∥BC，∴∠PEB=∠DPQ
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A
∴△ABP∽△DPQ．（9分）
∴

AB

PD

=

AP

DQ

．
∵AP=x，CQ=y，∴PD=5-x，DQ=2+y．
∴

2

5-x

=

x

2+y

．
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．
令y＞0，即-

1

2

x2+

5

2

x-2＞0．
观察图象得1＜x＜4，
又∵x＞0，5-x＞0，
综上所述1＜x＜4；（11分）
②当点E在线段BC的延长线上时，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠E．
∵AD∥BC，∴∠E=∠DPQ．
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A．
∴△ABP∽△DPQ．（12分）
∴

AB

PD

=

AP

DQ

．
∵AP=x，CQ=y，
∴PD=5-x，DQ=2-y．
∴

2

5-x

=

x

2-y

．
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2．
令y＞0，即

1

2

x2-

5

2

x+2＞0．
观察图象得x＜1或4＜x．
又∵x＜5，
综上所述：0＜x＜1或4＜x＜5．（14分）

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的综合应用，进行分类讨论注意以不要漏解是解决问题的关键．