Question

如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：AB=BC+CD．

Answer 1

分析：过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知，CD=DE，由全等三角形的判定定理可得△BCD≌△BED，故可得出BC=BE，再根据△ABC是等腰直角三角形可知∠A=45°，故△ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，所以AB=BE+AE=BC+CD．

解答：证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE，
在△BCD与△BED中，

∠DBC=∠DBA ∠C=∠BED=90° BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（AAS），
∴BC=BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=CD，
∴AB=BE+AE=BC+CD．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．