Question

17．反比例函数y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象如图，点B在图象上，连接OB并延长到点A，使AB=2OB，过点A作AC∥y轴，交y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于点C，连接OC，S_△AOC=5，求k值．

Answer 1

分析 作BD⊥x轴于D，延长AC交x轴于E，可得△OBD∽△OAE，由AB=2OB知BD：AE=OD：OE=1：3，设OD=t，则OE=3t，由B点和C点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，得B点坐标为（t，$\frac{k}{t}$），知BD=$\frac{k}{t}$，AE=$\frac{3k}{t}$，再根据S_△AOC=S_△AOE-S_△COE即$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{3k}{t}$-$\frac{1}{2}$k=5，解之可得．

解答 解：作BD⊥x轴于D，延长AC交x轴于E，如图，

∵AC∥y轴，
∴BD∥AE，
∴△OBD∽△OAE，
∴BD：AE=OD：OE=OB：OA，
而AB=2OB，
∴BD：AE=OD：OE=1：3，
设OD=t，则OE=3t，
∵B点和C点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$，（x＞0）的图象上，
∴B点坐标为（t，$\frac{k}{t}$），
∴BD=$\frac{k}{t}$，
∴AE=$\frac{3k}{t}$，
∵S_△AOC=S_△AOE-S_△COE，
∴$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{3k}{t}$-$\frac{1}{2}$k=5，
∴k=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质