Question

1．如图．△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE=EF，求证：AB=CF（2种方法）．

Answer 1

分析 延长FD至H，使FD=DH，连接BH，证明△BDH与△CFD全等，进而证明即可；
过B点作BH∥CF，交AD的延长线于H，证明△BDH与△CFD全等，进而证明即可．

解答 证明：延长FD至H，使FD=DH，连接BH，如图1：

∵在△BDH与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠BDH=∠CDF}\\{FD=DH}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CFD（SAS），
∴∠H=∠CFD，CF=BH
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠H，
∴AB=BH，
∴AB=CF；
证法2，过B点作BH∥CF，交AD的延长线于H，如图2：

∵BH∥CF，
∴∠H=∠DFC，
∵在△BDH与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠DFC}\\{∠BDH=∠CDF}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CFD（AAS），
∴CF=BH，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠H，
∴AB=BH，
∴AB=CF．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明△BDH与△CFD全等．