Question

如图△ABC中，AC=BC，点D为BC边上的一动点，DE⊥BA于E，连CE交AD于F，若DC=nBD．
①若n=2时，

BE

AB

=

 

．
②若n=3时，求

EF

FC

的值；
③若n=

 

时，EF=FC．

Answer 1

分析：①过点C作CH⊥AB于点H，由于DE⊥BA于E，所以DE∥CH，所以△BED∽△BHC，根据相似三角形的性质，可以求出

BE

AB

的值．
②过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由（1）知，

BD

BC

=

BE

BH

，由于DC=nBD且n=3，所以

BD

BC

=

BE

BH

=

1

4

，由于△AGH∽△ADE，所以

GH

DE

=

AH

AE

=

4

7

，又因为△DEF∽△GCF，所以

EF

FC

=

DE

CG

=

7

24

，所以

EF

FC

=

7

24

；
（3）过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由于△DEF∽△GCF，所以

EF

CF

=

DE

CG

，由于EF=FC，所以DE=CG，设DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得

BD

BC

=

DE

CH

，即

1

n+1

=

x

x+y

①，由△AGH∽△ADE，得

HG

ED

=

AH

AE

，即

y

x

=

n

2n+1

②，联立①②式，解得，n=

2

2

．

解答：解：（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵DE⊥BA于E，
∴DE∥CH，
∴△BED∽△BHC，
∴

BD

BC

=

BE

BH

，
由于DC=nBD且n=2，
∴

BD

BC

=

BE

BH

=

1

3

，
∵CH⊥AB于点H，
∴BH=HA，
∴

BE

AB

=

1

6

；

（2）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，
由（1）知，

BD

BC

=

BE

BH

，由于DC=nBD且n=3，∴

BD

BC

=

BE

BH

=

1

4

，
同理，△AGH∽△ADE，∴

GH

DE

=

AH

AE

=

4

7

，
又△DEF∽△GCF，∴

EF

FC

=

DE

CG

=

7

24

，即

EF

FC

=

7

24

；

（3）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，
△DEF∽△GCF，∴

EF

CF

=

DE

CG

，
由于EF=FC，所以DE=CG，
设DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得

BD

BC

=

DE

CH

，即

1

n+1

=

x

x+y

①，
由△AGH∽△ADE，得

HG

ED

=

AH

AE

，即

y

x

=

n

2n+1

②，
联立①②式，解得，n=

2

2

．

点评：通过平行线证得三角形相似，能够根据比例的性质进行比例式的灵活变形．熟悉相似三角形的性质是解题的关键．