Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标为x₁，x₂，若．
（1）试用a，x₁，x₂表示b，c；
（2）若0＜t＜x₁，当x=t时二次函数的值记为f（t），试证明：t＜f（t）＜x₁．

Answer 1

解：（1）方程ax²+bx+c=x，即ax²+（b-1）x+c=0，其两根分别是x₁，x₂，
于是． …（2分）
∴b=-ax₁-ax₂+1，c=ax₁x₂．

（2）当0＜t＜x₁时，f（t）-t=at²+bt+c-t=at²+（b-1）t+c
=at²-a（x₁+x₂）t+ax₁x₂
=a（t-x₁）（t-x₂）
∵0＜t＜x₁，x₁＜x₂，a＞0，
∴t-x₁＜0，t-x₂＜0，
∴a（t-x₁）（t-x₂）＞0．
从而f（t）-t＞0，f（t）＞t．f（t）-x₁=at²-bt+c-x₁
=a[t²-（x₁+x₂）t+x₁x₂]+（t-x₁）=a（t-x₁）（t-x₂）+（t-x₁）
=（t-x₁）[1-a（x₂-t）]
∵0＜t＜x₁，，a＞0，
∴
∴（t-x₁）[1-a（x₂-t）]＜0．
从而f（t）-x₁＜0，f（t）＜x₁．
故t＜f（t）＜x₁．
分析：（1）将方程ax²+bx+c=x变形为ax²+（b-1）x+c=0，利用根与系数的关系，可以得到b=-ax₁-ax₂+1，c=ax₁x₂．
（2）当0＜t＜x₁时，分别计算f（t）-t＞0和f（t）-x₁＜0就可以证明题目的结论．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是对函数的解析式进行正确的变形．