Question

如图1，?ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，点M，N为CE上两点，且BM∥DN．

﹙1﹚求证：BM=2DN；
﹙2﹚如图2，连接DM并延长交AB于F，若BF=2AF，求

DM

MF

的值；
﹙3﹚在（2）的条件下，连接BN，求

S△BFM

S梯形BMDN

的值．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）欲证明BM=2DN，只需求得相似三角形△EDN∽△CBM的相似比即可；
（2）取BF、BM的中点H、Q，连接HQ、AQ，则HQ是三角形的中位线，所以MF=2QH，根据BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位线，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得

DM

MF

的值；
（3）连接BD，作BH⊥DN于H，先求得

S△BDM

S△BMF

=

3

4

，得出S_△BMF=

4

3

S_△BDM，进而∴

S△BDN

S△BDM

=

1 2 DN•BH

1 2 BM•BH

=

DN

BM

=

1

2

，得出S_△BDM=2S_△BDN，从而得出S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，即可求得

S△BFM

S梯形BMDN

的值．

解答：（1）证明：如图1，∵点E为AD的中点，
∴DE=

1

2

AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEN=∠BCM，ED=

1

2

CB
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，
∴

ED

CB

=

DN

BM

=

1

2

，
∴BM=2DN；

﹙2﹚如图2，取BF、BM的中点H、Q，连接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位线，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位线，
∴DM=PM=3PF，
∴

DM

MF

=

3PF

4PF

=

3

4

．

（3）如图3，连接BD，作BH⊥DN于H，
∵BM∥DN，
∴BH⊥BM，
∵

DM

MF

=

3

4

，
∴

S△BDM

S△BMF

=

3

4

，
∴S_△BMF=

4

3

S_△BDM，
∵BM∥DN，
∴

S△BDN

S△BDM

=

1 2 DN•BH

1 2 BM•BH

=

DN

BM

=

1

2

，
∴S_△BDM=2S_△BDN，
∴S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，
∴S_△BMF=

4

3

S_△BDM=

8

3

S_△BDN，
∴

S△BMF

S梯形BMDN

=

8 3 S△BDN

3S△BDN

=

8

9

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，三角形相似的判定和性质，以及三角形的面积等，熟练掌握性质定理是本题的关键．