Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD

(1)若AD＝5，BC＝11，梯形的高是4，求梯形的周长；

(2)若AD＝a，BC＝b，梯形的高是h，梯形的周长为c，则c＝________(用含a、b、h的代数式表示，答案直接填在横线上，不要求证明)；

(3)若AD＝3，BC＝7，BD＝，求证：AC⊥BD．

Answer 1

答案：
解析：

解答和证明：(1)如图所示，过A、D分别作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形AMND是平行四边形． 　　∴AD＝MN＝5，AM＝DN＝4． 　　又因为AB＝CD， 　　∴Rt△BAM≌Rt△CDN(HL)． 　　∴BM＝CN＝(BC－MN)＝3， 　　由勾股定理得 　　AB＝CD＝＝＝5， 　　∴梯形的周长为26． 　　(2)c＝a＋b＋ 　　(3)过A作AF∥DB交CB的延长线于F，则四边形ADBF是平行四边形． 　　∴AF＝BD＝AC＝，BF＝AD＝3． 　　∵BC＝7，∴CF＝BF＋BC＝10 　　在△AFC中， 　　∵AF2＋AC2＝()2＋()2＝100，CF2＝102＝100，∴AF2＋AC2＝CF2，由勾股定理的逆定理知，△AFC是直角三角形， 　　∴AF⊥AC， 　　∵AF∥BD，∴AC⊥BD． 　　解析：(1)已知两底的长，要求梯形的周长，关键是求两腰，由于已知高为4，因此分别过A、D两点向BC作垂线，垂足为M、N．则MA＝ND＝4，MN＝AD＝5，且Rt△ABM≌Rt△DCN，所以BM＝CN＝(BC－AD)＝3．根据勾股定理可求AB＝CD＝＝5，因此周长为26；(2)第二问是(1)的推广；(3)证明两对角线互相垂直时，通过平移对角线，把两对角线集中到同一个三角形中，用勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，从而证得结论． 　　警示误区：证明及推理过程不严密，因果关系混乱是同学们易犯的错误，应注意加强训练．