Question

若一条直线将一个平面图形分成面积相等的两部分，则该直线被平面图形截得的线段叫做该图形的面径。例如圆的直径就是它的面径。

（1）已知等边三角形的边长为2，则它的面径长可以是_________（写出2个）；

（2）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，M是AD的中点，射线CM交射线BA于点E。取EB的中点F，连接CF。求证：CF是梯形ABCD的面径；

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，D，E分别是线段BC，AC上的点，EF是四边形ABDE的一条面径。若AB＝CB＝CE＝2，∠BED＝45°，求DF。

Answer 1

解：（1），                                                          （2分）

（2）以下为解题思路表述：

由条件可推得，                           （3分）

再由条件可推得△CDM≌△EAM，                     （4分）

∴，           （5分）

∴CF是梯形ABCD的面径。                               （6分）

（3）如图，作AG∥EB，交直线BC于点G，连接GE，GE交AB于点H，

则易得，                                     （7分）

∴

又∵EF是四边形ABDE的一条面径，

∴F是GD的中点，                                            （8分）

由AB＝CB＝CE＝2，∠BED＝45°，

可推得△CDE≌△AEB，                                     （9分）

∴CD＝AE＝                                         （10分）

又由条件可推得GC＝AC＝，                     （11分）

∴DF＝1                                                             （12分）