Question

如图，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD=2，CD=4，求折叠后重合部分的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD，则可求得折叠后的图形．
（2）由折叠的性质，易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB=∠FBD，得出BF=DF，进而用同一未知数表示出AF，DF的吃那个，再利用勾股定理得出BF的长，即可得出答案．

解答：解：（1）做法参考：
方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE；
方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE；
方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE，
（做法合理均可得分）
∴△DEB为所求做的图形．   

（2）∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴∠FDB=∠CDB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠FDB=∠ABD，
∴DF=BF，
∵AD=2，CD=4，设BF=x，则AF=4-x，
∴AF²+AD²=DF²，
∴（4-x）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴折叠后重合部分的面积为：

1

2

×BF×AD=

1

2

×2.5×2=2.5．

点评：此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．