Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是度．
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）50
（2）解：①∵MN是AB的垂直平分线，

∴AM=BM，

∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，

∵AB=8，△MBC的周长是14，

∴BC=14﹣8=6；

②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，

∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14

【解析】解：（1）∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，
∴∠MNA=50°，
所以答案是：50；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．