Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴= 即 =，
∴PC=2；

（2）①tan∠PEF的值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴===2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴tan∠PEF的值不变；

②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为O₁O₂=PC=．

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比===2，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O₁，O₂，连接O₁O₂，线段O₁O₂即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．