Question

11．如图，AB为⊙O的直径，D为$\widehat{AC}$的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S_△AFO=S_△CFD，推出S_{四边形ACDE}=S_△ODE，求出△ODE的面积即可．

解答 （1）证明：∵D为$\widehat{AC}$的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接DC，
∵D为$\widehat{AC}$的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD，
在△AFO和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠AFO=∠CFD}\\{OF=FD}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S_△AFO=S_△CFD，
∴S_{四边形ACDE}=S_△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ACDE}=S_△ODE=$\frac{1}{2}$×OD×DE=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．