Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连AE，若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．
（1）求a，b，c的长；
（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；
（3）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解方程组
得：，
解不等式组，
解得：-4≤x＜11，
∵满足-4≤x＜11的最大正整数为10，
∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；

（2）∵AE平分△ABC的周长，△ABC的周长为24，
∴AB+BE=×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；

（3）不存在．
∵当AE将△ABC分成周长相等的△AEC和△ABE时，EC=6，BE=2，
此时，△AEC的面积为：，
△ABE的面积为：面积不相等，
∴AE平分△ABC的周长时，不能平分△ABC的面积，
同理可说明AE平分△ABC的面积时，不能平分△ABC的周长．
分析：（1）根据二元一次方程组的解法得出a，b的值，再利用不等式组的解法得出x的取值范围，进而得出c的值；
（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性质得出AC=CE，进而得出答案；
（3）分别根据AE平分三角形ABC的周长和平分面积时不能同时符合要求进而得出答案．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及二元一次方程组的解法和不等式组的解法等知识，进行分类讨论得出是解题关键．