Question

（2013•莒南县一模）如图，直线y=

1

k

x与反比例函数y=

8-k

x

(k≠0)的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，在反比例函数的图象上两点P、Q关于原点对称，则APCQ是矩形时的面积是

30

．

Answer 1

分析：由三角形OAB的面积，利用反比例解析式中k的几何意义得到|8-k|=4，根据反比例图象在第一、三象限得到8-k大于0，求出k的值，确定出两函数解析式，联立两函数解析式求出A与C的坐标，由P与Q关于原点对称且四边形APCQ为矩形，得到OA=OP，求出P的坐标，过P作PD垂直于x轴，利用等式的性质得到三角形AOP面积等于梯形APDB的面积，由AB，PD及DB的长，求出梯形APDB面积，即为三角形AOP面积，乘以4即可得到四边形APCQ的面积．

解答：解：∵△OAB的面积等于2，
∴|8-k|=4，
∵图象在一、三象限，
∴

y= 1 4 x y= 4 x

，
解得：x=±4，
∴A（4，1），C（-4，-1），
∵P，Q两点关于原点对称，且四边形APCQ是矩形，
∴OA=OP，
∴点P的坐标为（1，4），
∴过P作PD⊥OB于D，
∴S_△AOP=S_梯形APDB=

1

2

×（1+4）×（4-1）=

15

2

，
∴S_梯形APCQ=

15

2

×4=30．
故答案为：30

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．