Question

2．如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求线段DE的长；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作PM⊥AE于点P，且交AD于点M，过点M作MN⊥DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）依据勾股定理求出BE的长，再求出DC的长，进而得出DE=OD即可；
（2）利用已知得出△APM∽△AED，进而得出PM的长，再利用矩形面积求法以及二次函数最值求出即可；
（3）利用（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①），（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②），分别得出M点坐标即可．

解答 解：（1）依据题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，
则BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴CE=2，
∴E点坐标为：（2，4），
在Rt△DCE中，DC²+EC²=D²，
又∵DE=OD，
∴（4-OD）²+2²=OD²，
解得：DC=$\frac{5}{2}$，
∴D点坐标为：（0，$\frac{5}{2}$），
∴DE=OD=$\frac{5}{2}$；

（2）如图①∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{PM}{ED}$=$\frac{AP}{AE}$，
又知AP=t，DE=$\frac{5}{2}$，AE=5，
∴PM=$\frac{t}{5}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{t}{2}$，
又∵PE=5-t，
而显然四边形PMNE为矩形，
∴S_矩形PMNE=PM×PE=$\frac{t}{2}$×（5-t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t，
∴S_{四边形PMNE}=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∵0＜$\frac{5}{2}$＜5，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_矩形PMNE有最大值$\frac{25}{8}$；

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）
在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，
∴t=AP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$．
又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．
过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{5}{4}$，OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，（0＜$\frac{5}{2}$＜5），△AME为等腰三角形．
此时M点坐标为：（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$．
过点M作MF⊥OA，垂足为F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$．
∴t=AP=$\frac{AM×AE}{AD}$=$\frac{5×5}{\frac{5}{2}\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PM=$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{5}$．
∴MF=MP=$\sqrt{5}$，OF=OA-AF=OA-AP=5-2$\sqrt{5}$，
∴当t=2$\sqrt{5}$时，（0＜2$\sqrt{5}$＜5），此时M点坐标为：（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
综合（i）（ii）可知，t=$\frac{5}{2}$或t=2$\sqrt{5}$时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，
相应M点的坐标为：（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 此题主要考查了四边形综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论得出M点坐标是解题关键．