Question

14．如图所示，?ABCD中，∠ADC和∠BCD的平分线交于点M，且分别交AB于E、F．
（1）线段AF与BE有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）请你给?ABCD添加一个条件，使EF=$\sqrt{2}$MF，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，易证得△ADM与△BCN是等腰三角形，继而证得结论；
（2）当四边形ABCD为矩形时，易求得△MFE是等腰直角三角形，然后由勾股定理求得EF=$\sqrt{2}$MF．

解答 （1）AF=BE
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠CDM=∠AMD，∠DCN=∠BNC，
∵∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，
∴∠ADM=∠CDM，∠BCN=∠DCN，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCN=∠BNC，
∴AD=AM，BC=BN，
∴AM=BN，
∴AF=BE；

（2）添加∠A=90°．
证明：∵∠A=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于E，F两点，
∴∠CDM=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，∠DCM=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∴∠CDM=∠DCM，∠CDM+∠DCM=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，
∴∠DMC=90°=∠FME，
∵AB∥CD，
∴∠CDM=∠MEF，∠DCM=∠MFE，
∴∠MEF=∠MFE，
∴MF=ME，
∴MF²+ME²=EF²，
∴EF=$\sqrt{2}$MF．

点评 此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．