Question

2．已知在△ABC中，∠ACB=90°，当点D在斜边上时（不含端点），求证：$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

Answer 1

分析 作DE⊥BC于E，如图，根据勾股定理得CD²=DE²+CE²，BD²=DE²+BE²，则$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$可变形为$\frac{（CE-BE）（CE+BE）}{B{C}^{2}}$，即$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥AC得到$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，于是得到$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

解答 解：作DE⊥BC于E，如图，
∵在Rt△CDE中，CD²=DE²+CE²，
在Rt△BDE中，BD²=DE²+BE²，
∴$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{C{E}^{2}-B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{（CE-BE）（CE+BE）}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$，
∵DE∥AC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$-$\frac{BD}{AB}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质和勾股定理．