Question

已知，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，E是OA上任一点，BE的延长线交⊙O于D，过D的⊙O的切线交OA的延长线于C．
（1）求证：CE=CD；
（2）若OE=1，AE=2，求AD的长度．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由DC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与DC垂直，可得出∠ODB+∠EDC=90°，再由OB与OA垂直，得到∠B+∠BEO=90°，由OB=OD，根据等边对等角可得∠B=∠ODB，根据等角的余角相等可得∠EDC=∠BEO，再根据对顶角相等可得∠BEO=∠CED，等量代换可得∠CED=∠CDE，根据等角对等边可得CE=CD，得证；
（2）延长AO与圆O交于点F，连接DF，由DC为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角，再加上一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形FDC与三角形ADC相似，由OE及AE的长，利用OE+EA可得出OA的长，进而得到AF的长，设CD=x，根据第一问的结论得到CE=x，由CE-AE表示出AC，由相似得比例可列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC的长，进而得到AD与FD的比值，根据比值分别设出AD=k，与FD=2k，在直角三角形AFD中，利用勾股定理得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可得出AD的长．

解答：解：（1）连接OD，如图所示：

∵DC为圆O的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠EDC=90°，
∵OB⊥OC，∴∠BOE=90°，
∴∠B+∠BEO=90°，
又∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDC=∠BEO，又∠BEO=∠CED，
∴∠EDC=∠CED，
∴CE=CD；

（2）延长AO与圆O交于点F，连接DF，
∵CD为圆O的切线，∠ADC为弦切角，
∴∠ADC=∠F，又∠C=∠C，
∴△ADC∽DFC，
∴

AC

CD

=

CD

CF

=

AD

DF

，
设CD=x，且OE=1，AE=2，
则CE=x，CA=x-2，
∴

x-2

x

=

x

x+4

，即x²=x²+2x-8，
解得：x=4，
∴AC=4-2=2，
∴

AD

DF

=

AC

CD

=

2

4

=

1

2

，
∵AF为圆O的直径，∴∠ADF=90°，
在直角三角形ADF中，
AF=2OA=2（OE+AE）=6，设AD=k，则DF=2k，
根据勾股定理得：k²+（2k）²=36，
解得：k=

6 5

5

，
则AD=

6 5

5

．

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等角的余角相等，相似三角形的判定与性质，比例的性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．