Question

学以致用
问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
讨论：小明说：一定存在．
小华说：一定不存在．
小红说：不一定存在．
探究：老师和大家一起举例说明：（1）如果已知矩形的长和宽和面积分别为7和1，那么它的周长和面积分别16和7，则所求的矩形周长和面积应为8和3.5；
问题转化为：周长为8，面积为3.5的矩形是否存在？
我们假设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则它的宽为

 

可列出方程

 

解得：

 

所以：

 

（2）①如果矩形的长和宽分别为5和1，这时情况如何？
②综上所得，你认为

 

的说法正确．

Answer 1

分析：设出新矩形的一边长为未知数，根据周长表示出另一边长，根据面积得到方程求解即可．

解答：（1）设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则它的宽为 4-x，
可列出方程 x（4-x）=3.5
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

所以：矩形的长为2+

2

．
（2）①如果矩形的长和宽分别为5和1，则矩形的周长为12，面积为5，
∴新矩形的周长为6，面积为2.5．
设所求矩形的长为x，固定它的周长为6，则它的宽为 3-x，
可列出方程 x（3-x）=2.5
△＜0，没有实数根
所以不存在这样的矩形；
②由以上两个结论可得小红的说法正确；
故答案为：（1）4-x；x（4-x）=3.5；x₁=2+

2

，x₂=2-

2

；矩形的长为2+

2

．
（2）②小红．

点评：考查一元二次方程在几何图形中的应用；用到的知识点为：矩形的一边长=周长的一半-另一边长．