Question

（2012•西城区模拟）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”
（1）完成下列空格：
当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为（

7

2

-x），由题意得方程：x（

7

2

-x）=3，化简得：2x²-7x+6=0
∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=

2

，x₂=

3

2

．
∴满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

x+y= 7 2 xy=3

消去y化简后也得到：2x²-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：

y= 7 2 -x y= 3 x

，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形A的面积为

8

；周长为

18

．
②满足条件的矩形B的两边长为

9+ 17

4

和

9- 17

4

．

Answer 1

分析：（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简再根据方程的判别式解答即可；
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为y=

4

x

，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x₁+x₂=4.5，x₁x₂=4，即可．
②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长．

解答：解：（1）x₁=2，x2=

3

2

，…（4分）

（2）设所求矩形的一边是x，则另一边为（

3

2

-x），
由题意得方程：x（

3

2

-x）=1，
化简得：2x²-3x+2=0
∵b²-4ac=9-16＜0，
∴原方程无解．
∴满足要求的矩形B不存在．…（8分）

（3）（每空1分）
①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，
反比例函数解析式为y=

4

x

，
组成方程组得：

y=-x+4.5 y= 4 x

，
整理得出：x²-4.5x+4=0，
∴x₁+x₂=4.5，x₁x₂=4，
∵矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4，
∴这个图象所研究的矩形A的面积为8；周长为18，
故答案为：8，9；
②由题意得出：

x+y=4.5 xy=4

，
解得：

x= 9+ 17 4 y= 9- 17 4

，

x= 9- 17 4 y= 9+ 17 4

，
则满足条件的矩形B的两边长为

9+ 17

4

和

9- 17

4

…（12分）．
故答案为：

9+ 17

4

，

9- 17

4

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系以及二元二次方程解法、利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式是解题关键．