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    如图（1），等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动．若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t（秒）（t＞0）．
    （1）当t=4秒时，指出点P，Q的位置．
    （2）当点P、Q运动时，求△PCQ的面积S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
    （3）当点Q在CA边上运动时，是否存在某个时刻t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （4）当点Q在AB边上运动时，是否存在某个时刻t，使得四边形AQPC为等腰梯形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    考点：四边形综合题
    专题：综合题
    分析：（1）先根据速度公式计算出当t=4秒时PB和CQ的长，然后根据等边三角形ABC的边长为8判断点P，Q的位置；
    （2）分两种情况讨论：当0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，则BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DC=
    1
    2
    CQ=t，
    QD=
    		3
    CD=
    		3
    t，然后根据三角形面积公式得到S=
    1
    2
    QD•PC=-
    		3
    2
    t2+4
    		3
    t；
    ②当4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如图2，则BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=
    1
    2
    BQ=8-t，
    QD=
    		3
    BD=
    		3
    （8-t），然后根据三角形面积公式得到S=
    1
    2
    QD•PC=
    		3
    2
    t2-8
    		3
    t+32
    		3
    ；
    （3）分类讨论：当∠PQC=90°时，PC=8-t，CQ=2t，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PC=2CQ，则8-t=2•2t，然后解方程求出t；   
    当∠CPQ=90°时，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CQ=2PC，则2t=2•（8-t），然后解方程求出t；   
    （4）由于当PQ∥AC时，四边形AQPC为梯形，加上∠A=∠C=60°，于是可判断此时四边形AQPC为等腰梯形，得到△BPQ为等边三角形，所以BQ=BP，则16-2t=t，然后解方程求出t的值．
    解答：解：（1）当t=4秒时，PB=4×1=4，CQ=4×2=8，
    而等边三角形ABC的边长为8，
    所以点P为BC边的中点，点Q运动到点A；
    （2）①当点Q在CA上运动时，即0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
    BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
    ∵△ABC为等边三角形，
    ∴∠C=60°，
    在Rt△CDQ中，DC=
    1
    2
    CQ=t，
    ∴QD=
    		3
    CD=
    		3
    t，
    ∴S=
    1
    2
    QD•PC=
    1
    2
    •
    		3
    t•（8-t）=-
    		3
    2
    t2+4
    		3
    t，
    即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=-
    		3
    2
    t2+4
    		3
    t（0＜t≤4）；
    ②当点Q在AB上运动时，即4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如图2，
    BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，则BQ=16-2t，
    ∵△ABC为等边三角形，
    ∴∠B=60°，
    在Rt△BDQ中，BD=
    1
    2
    BQ=
    1
    2
    （16-2t）=8-t，
    ∴QD=
    		3
    BD=
    		3
    （8-t），
    ∴S=
    1
    2
    QD•PC=
    1
    2
    •
    		3
    （8-t）•（8-t）=
    		3
    2
    t2-8
    		3
    t+32
    		3
    ，
    即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=
    		3
    2
    t2-8
    		3
    t+32
    		3
    （4＜t＜8）；
    （3）存在．PC=8-t，CQ=2t，
    ①当∠PQC=90°时，
    ∵∠C=60°，
    ∴∠CPQ=30°，
    ∴PC=2CQ，即8-t=2•2t，解得t=1.6；   
    ②当∠CPQ=90°时，则CQ=2PC，即2t=2•（8-t），解得t=4；   
    综上所述，当t=1.6或4秒时，△PCQ为直角三角形；
    （4）存在．
    当PQ∥AC时，四边形AQPC为梯形，
    ∵∠A=∠C=60°，
    ∴此时四边形AQPC为等腰梯形，
    ∴△BPQ为等边三角形，
    ∴BQ=BP，即16-2t=t，解得t=
    16
    3
    ，
    即当t=
    16
    3
    秒时，四边形AQPC为等腰梯形．
    点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等边三角形的性质、等腰梯形的判定定理；会运用含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式进行几何计算；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决有关动点的问题．
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    1
    2
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    1
    2
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    		2
    -1）0；
    （2）计算：
    2a
    a2-4
    -
    1
    a-2
    ．

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    （填“普查”或“抽样调查”）；一共调查了
     
    名学生；
    （2）求扇形统计图中的m，并补全条形统计图；
    （3）求扇形统计图中，“乘私家车”所对应扇形的圆心角的度数；
    （4）小明说：“为了调查方便，全部在同一个年级抽取．”这样的抽样是否合理？请说明理由；
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    ．

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    ．（填“甲”或“乙”）

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    ．

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