Question

△ABC和△DEF均为正三角形，E是BC边的中点．
（1）如图甲，DE交AB于M，EF交AC于N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE交BA的延长线于M，EF交AC于N，除（1）中的一对三角形外，还有一对三角形相似，直接写出这对相似三角形是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠B=∠C=∠DEF=60°，则∠1+∠2=∠1+∠3=120°，所以∠2=∠3，然后根据相似三角形的判定方法即可得到△BEM∽△CNE；
（2）由△BEM∽△CNE得

BE

CN

=

ME

EN

，用BE=EC代换变形后得

EC

ME

=

CN

EN

，加上∠MEN=∠B=60°，则可判断△ENM∽△CNE．

解答：（1）证明：∵△ABC、△DEF均为正三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=180°-60°=120°，
∴∠2=∠3，
∴△BEM∽△CNE；

（2）△ENM∽△CNE．理由如下：
∵△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

=

ME

EN

，
而BE=EC，
∴

EC

ME

=

CN

EN

，
又∵∠MEN=∠B=60°，
∴△ENM∽△CNE．
故答案为△ENM∽△CNE．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质．