Question

已知，如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相交于点D，E，F．求证：∠FDE=90°-

1

2

∠A．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：连结IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI=∠AFI=90°，则利用四边形内角和得到∠A+∠EIF=180°，再由圆周角定理得∠EIF=2∠FDE，所以∠A+2∠EDF=180°，然后变形即可得到结论．

解答：证明：连结IE、IF，如图，
∵内切圆I与边CA，AB分别相交于点E，F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠A+∠EIF=180°，
∵∠EIF=2∠FDE，
∴∠A+2∠EDF=180°，
∴∠FDE=90°-

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．熟练运用切线的性质．