Question

已知：平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k为何值时，四边形ABCD是菱形？
（3）当k为何值时，四边形ABCD的两条对角线的长相等，且都等于？求出这时四边形ABCD的周长和面积．

Answer 1

解：（1）
∵平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞，
即k的取值范围是k＞；

（2）∵要使四边形是菱形，则m=n，即方程有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）=0，
即k=1，
∴当k为1时，四边形ABCD是菱形；

（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（）²，
即（m+n）²-2mn=，
∵m+n=k，mn=-，
∴k²-2（-）=，
k₁=2，k₂=-1（因为由（1）得出k＞，所以此时的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+=0，
解方程得：m=，n=或n=，m=，
∴矩形ABCD的周长是2×（+）=4，面积是×=．
即此时四边形ABCD的周长是4，面积是．
分析：（1）根据题意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（-）≥0，m+n=k＞0，mn=-＞0，求出不等式组的解集即可；
（2）根据菱形的性质得出m=n，即可得出方程有两个相等的实数根，即△=0，求出即可；
（3）得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．
点评：本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．