Question

已知一次函数y=k₁x-4与正比例函数y=k₂x的图象都经过点A（2，-1）
（1）分别求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形△OAB的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使△POB的面积是△OAB的面积的2倍？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A（2，-1）代入一次函数y=k₁x-4与正比例函数y=k₂x中，求出k₁、k₂的值，即可得出这两个函数的解析式；
（2）根据直线y=

3

2

x-4，得出与x轴的交点坐标为（

8

3

，0），求出OB的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）根据三角形的面积公式得出S_△POB=

1

2

PO•OB=

4

3

PO，当S_△POB=2S_△OAB时，求出PO=2，即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）∵一次函数y=k₁x-4与正比例函数y=k₂x的图象都经过点A（2，-1），
∴-1=2k₁-4，-1=2k₂，
∴k₁=

3

2

，k₂=-

1

2

，
∴一次函数的解析式为：y=

3

2

x-4，正比例函数的解析式为y=-

1

2

x；

（2）∵直线y=

3

2

x-4，与x轴的交点坐标为：（

8

3

，0），
∴OB=

8

3

，
∴S_△OAB=

1

2

×

8

3

×1=

4

3

；

（3）∵S_△POB=

1

2

PO•OB=

1

2

PO×

8

3

=

4

3

PO，
∴当S_△POB=2S_△OAB时，

4

3

PO=2×

4

3

=

8

3

，
∴PO=2，
∴点P的坐标为P₁（0，2）或P₂（0，-2）．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质，三角形的面积公式，关键是掌握 三角形的面积与点的坐标的关系，注意结果有两种情况．