Question

4．二次函数y=x²+bx+c的图象对称轴是x=2；方程x²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂且x₁²+x₂²=10
（1）求二次函数y=x²+bx+c的关系式；
（2）若二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴的交点分别为A、B，（A在B的左边）点C在x轴的上方，且∠BAC=90°，BC=2$\sqrt{2}$，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴是x=2即可求得b的值，根据方程根与系数的关系即可求得c的值，从而求得二次函数的解析式；
（2）根据解析式求得A、B的坐标，得出AB=2，然后根据勾股定理求得AC=2，把y=2代入y=x²-4x+3，即可求得A点平移后的坐标，从而求得△ABC平移的距离．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象对称轴是x=2，
∴-$\frac{b}{2}$=2，
∴b=-4，
∵方程x²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=c，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²=16，
∴x₁²+x₂²+2x₁•x₂=10+2c=16，
∴c=3，
∴二次函数的关系式为y=x²-4x+3；
（2）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=3，x₂=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵∠BAC=90°，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=2，
把y=2代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=2，
解得x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2-$\sqrt{3}$（舍去），
∴△ABC平移的距离为2+$\sqrt{3}$-1=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象与几何变换，勾股定理的应用，根据根与系数的关系求得b、c的值是本题的关键．