如图1.四边形ABCD中.AD∥BC.∠A=90°.BD⊥CD.AD=$\frac{9}{5}$cm.BC=5cm.动点P从点D出发.以1cm/s的速度沿DB方向运动.动点Q也从点D出发.以$\frac{4}{3}$cm/的速度沿DC方向运动.P.Q两点同时出发.当点Q到达点C时停止运动.点P也随之停止.设运动时间为sx．(1)求线段DB的长,(2)请判断PQ与BC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=$\frac{9}{5}$cm，BC=5cm，动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DB方向运动，动点Q也从点D出发，以$\frac{4}{3}$cm/的速度沿DC方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为sx（x＞0）．
（1）求线段DB的长；
（2）请判断PQ与BC的位置关系，并加以证明；
（3）伴随P，Q两点的运动，将△DPQ绕点P旋转，得到△PMN，点M落在线段PQ上，若△PMN与△DBC的重叠部分的图形周长为y．
①请求出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
②求出当4＜y≤5时x的取值范围．

分析（1）首先证明△ABD∽△DCB，根据相似三角形的对应边的比相等求得BD的长；
（2）利用x表示出DP和DQ的长，证明△BCD∽△PQD，则∠DPQ=∠DBC，根据平行线的判定定理证明；
（3）①作PE⊥BC于点E，当PE=DQ是，N在BC上，求得x的值，然后分成N在BC以前和N在BC下边两种情况进行讨论，从而求解；
②与①相似分成两种情况，即可列不等式从而求解．

解答解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC=90°，
∴△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{DB}{BC}$，即$\frac{\frac{9}{5}}{DB}=\frac{DB}{5}$，
解得：BD=3；
（2）在直角△BCD中，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
DP=xcm，DQ=$\frac{4}{3}$xcm．
则$\frac{DP}{DB}=\frac{DQ}{CD}$，
又∵∠BDC=∠PDQ，
∴△BCD∽△PQD，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴PQ∥BC；
（3）作PE⊥BC于点E．
则△PBE∽△CBD，$\frac{PE}{CD}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PE}{4}=\frac{3-x}{5}$，则PE=$\frac{4}{5}$（3-x），
同理，DQ=$\frac{4}{3}$PD=$\frac{4}{3}$x，PQ=$\frac{5}{3}$x．
当点N落在BC边上时$\frac{4}{5}$（3-x）=$\frac{4}{3}x$，
解得：x=$\frac{9}{8}$．
①当0＜x≤$\frac{9}{8}$时，y=x+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$x=4x；
当$\frac{9}{8}$＜x≤3时，FN=MN-MF=DQ-PE=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{5}$（3-x）=$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$，
则在直角△NFG中，FG=$\frac{3}{4}$FN=$\frac{3}{4}$（$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{5}$x-$\frac{9}{5}$，
GN=$\frac{5}{4}$x=$\frac{5}{4}$（$\frac{32}{15}$x-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{3}$x-3．
则PG=$\frac{5}{3}$x-（$\frac{8}{3}$x-3）=3-x．
则y=x+$\frac{4}{5}$（3-x）+（$\frac{8}{5}$x-$\frac{9}{5}$）+（3-x）=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$；
②当0＜x≤$\frac{9}{8}$时，4＜4x≤5时，解得：1＜x≤$\frac{5}{4}$，则1＜x≤$\frac{9}{8}$；
当$\frac{9}{8}$＜x≤3，4＜$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$≤5时，解得：$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{7}{4}$，则$\frac{9}{8}$＜x≤$\frac{7}{4}$．
总之，1＜x≤$\frac{7}{4}$．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质，正确利用x表示出图形中线段GN、PG、DQ的长度是关键．

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