Question

11．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在DC上，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．
（1）求证：∠AEB=90°；
（2）求证：AD+BC=AB；
（3）如图2，过E作EF⊥CD交AB于F，若∠ABC=90°，∠C=75°，BF=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，求出∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，求出∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；
（2）在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证；
（3）如图2，过点F作FG⊥BE于点G，在等腰直角△BFG中，由勾股定理求得GF=$\sqrt{2}$．易证三角形△ADE≌△BFE，则由该全等三角形的对应边相等推知DE=EF=CE，然后通过解直角△EFG求得EF=2$\sqrt{2}$，则DE=EF=CE=2$\sqrt{2}$，所以CD=4$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：如图1，∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠EAB+∠ABE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°，即：∠AEB=90°；

（2）证明：如图1，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠DAE，
在△ADE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠FAE=∠DAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∠AED=∠AEF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵在△BFE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠BEC}\\{∠EBF=∠EBC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BCE（AAS），
∴BF=BC，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC．

（3）由（2）知，DE=EC．
如图2，过点F作FG⊥BE于点G，在等腰直角△BFG中，由勾股定理求得GF=$\sqrt{2}$．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°．
又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
又∵∠C=75°，
∴∠D=105°，
∴∠AED=180°-105°-45°=30°．
∵AE⊥BE，EF⊥CD，
∴∠AED=∠FEF．
∵在△ADE与△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠FBE}\\{AE=BE}\\{∠DEA=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴DE=EF，∠AED=∠BEF=30°，
则DE=EF=CE．
在直角△EFG中，EF=2GF=2$\sqrt{2}$，则DE=EF=CE=2$\sqrt{2}$，所以CD=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了四边形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．