Question

6．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC沿着MN方向以每秒1cm的速度移动，最后点A与点N重合．
（1）直接写出重叠部分周长y（cm）与运动时间x（秒）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当运动时间为多少秒时，重叠部分周长等于△ABC周长的一半．（结果精确到1秒）

Answer 1

分析 （1）根据题意可知重叠部分为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得斜边长，最后求得周长与x之间的函数关系式即可；
（2）先证明△ABC∽△ADM，然后利用相似三角形的相似比等于周长比求解即可..

解答 解：（1）如图所示：

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．
又∵∠DMA=90°，
∴∠MDA=∠DAM=45°
∴AM=DM=x．
由勾股定理得：DA=$\sqrt{M{D}^{2}+M{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴y=2x+$\sqrt{2}$x（0≤x≤10）．
（2）∵∠DMA=∠C，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADM．
∵重叠部分周长等于△ABC周长的一半，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{10}=\frac{1}{2}$．
解得：AM=5．
∴运动时间为5秒时，重叠部分周长等于△ABC周长的一半．

点评 本题主要考查的是动点问题的函数图形，确定出三角形DMA为等腰直角三角形是解题的关键．