Question

6．在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，连DE并延长交AB的延长线于F，连接AC交DF于点O
（1）找出其中的相似三角形；
（2）若CE=3，DC=4，OD=$\frac{16}{5}$，求证：△OCE∽△CDE．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得到AD∥BC，CD∥AB，然后根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似找出图中相似三角形；
（2）先利用勾股定理计算出DE=5，则OE=$\frac{9}{5}$，经过计算可到$\frac{OE}{CE}$=$\frac{CE}{DE}$，加上∠OEC=∠CED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△OCE∽△CDE．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴△OAD∽△OEC，△ADC∽△CBA，△ODC∽△OFA，△FBE∽△FAD∽△DCE；
（2）证明：∵CE=3，DC=4，
∴DE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OE=DE-DO=5-$\frac{16}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∵$\frac{OE}{CE}$=$\frac{\frac{9}{5}}{3}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CE}{DE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{CE}{DE}$，
而∠OEC=∠CED，
∴△OCE∽△CDE．

点评 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．